Resumen

En este ejercicio exploraremos cómo combinar dos estimadores insesgados para formar un nuevo estimador que también sea insesgado. La clave está en comprender las propiedades de linealidad del valor esperado y establecer las condiciones necesarias para mantener la insesgadez.

Problema

Si $\hat{\theta}_1$ y $\hat{\theta}_2$ son estimadores insesgados del mismo parámetro $\theta$, ¿qué condición se debe imponer a los valores constantes $k_1$ y $k_2$ de manera que:

$$k_1 \hat{\theta}_1 + k_2 \hat{\theta}_2$$

sea un estimador insesgado de $\theta$?

Conceptos clave

• Estimador insesgado: Un estimador $\hat{\theta}$ es insesgado cuando su valor esperado es igual al parámetro que estima: $\mathbb{E}(\hat{\theta}) = \theta$.
• Combinación lineal: Expresión de la forma $k_1x_1 + k_2x_2 + ... + k_nx_n$ donde $k_i$ son constantes y $x_i$ son variables.
• Linealidad del valor esperado: La esperanza de una combinación lineal es igual a la combinación lineal de las esperanzas: $\mathbb{E}(aX + bY) = a\mathbb{E}(X) + b\mathbb{E}(Y)$.
• Eficiencia: Propiedad de un estimador de tener la menor varianza posible.

Aplicaciones prácticas

1. En análisis de datos financieros, se combinan diferentes estimadores para reducir el riesgo de estimación.
2. En métodos estadísticos avanzados, la combinación de estimadores permite balancear sesgo y varianza.
3. En econometría, estos métodos se aplican para mejorar las predicciones de modelos económicos.
4. En aprendizaje automático, técnicas como el boosting y bagging se basan en combinar estimadores.

Solución

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Paso 1: Definir lo que significa que los estimadores sean insesgados

Dado que $\hat{\theta}_1$ y $\hat{\theta}_2$ son estimadores insesgados del parámetro $\theta$, por definición tenemos:

$$\mathbb{E}(\hat{\theta}_1) = \theta \quad \text{y} \quad \mathbb{E}(\hat{\theta}_2) = \theta$$

Paso 2: Analizar el estimador combinado

Queremos determinar la condición para que el estimador combinado:

$$\hat{\theta}_c = k_1 \hat{\theta}_1 + k_2 \hat{\theta}_2$$

sea insesgado.

Paso 3: Aplicar la propiedad de linealidad de la esperanza

Calculamos el valor esperado del estimador combinado:

$$\mathbb{E}(\hat{\theta}_c) = \mathbb{E}(k_1 \hat{\theta}_1 + k_2 \hat{\theta}_2)$$

Por la propiedad de linealidad del valor esperado:

$$\mathbb{E}(\hat{\theta}_c) = k_1 \mathbb{E}(\hat{\theta}_1) + k_2 \mathbb{E}(\hat{\theta}_2)$$

Paso 4: Sustituir los valores esperados conocidos

Sabemos que $\mathbb{E}(\hat{\theta}_1) = \theta$ y $\mathbb{E}(\hat{\theta}_2) = \theta$, por lo tanto:

$$\mathbb{E}(\hat{\theta}_c) = k_1 \theta + k_2 \theta$$

Factorizando:

$$\mathbb{E}(\hat{\theta}_c) = \theta(k_1 + k_2)$$

Paso 5: Establecer la condición de insesgadez

Para que $\hat{\theta}_c$ sea un estimador insesgado de $\theta$, debe cumplirse:

$$\mathbb{E}(\hat{\theta}_c) = \theta$$

Igualando con nuestra expresión anterior:

$$\theta(k_1 + k_2) = \theta$$

Dividiendo ambos lados por $\theta$ (asumiendo $\theta \neq 0$):

$$k_1 + k_2 = 1$$

Conclusión

La condición necesaria y suficiente para que la combinación lineal $k_1 \hat{\theta}_1 + k_2 \hat{\theta}_2$ sea un estimador insesgado del parámetro $\theta$ es:

$$\boxed{k_1 + k_2 = 1}$$

Esta condición garantiza que el valor esperado de la combinación lineal sea exactamente igual al parámetro que queremos estimar.