Problema

Supongamos que $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ representan una muestra aleatoria de una población con media $\mu$. Queremos determinar las condiciones que deben cumplir las constantes $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ para que el estimador:

$$\hat{\mu} = a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + \cdots + a_{n}x_{n}$$

sea un estimador insesgado de $\mu$.

1. ¿Qué condición deben cumplir los valores $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ para garantizar que el estimador $\hat{\mu}$ sea insesgado?
2. Explica por qué esta condición asegura la insesgadez del estimador.
3. Determina si la media muestral es un estimador insesgado según este criterio.

Resumen

En este ejercicio resolveremos cómo determinar las condiciones necesarias para que una combinación lineal de variables aleatorias sea un estimador insesgado. La clave está en comprender el concepto de valor esperado y trabajar con las propiedades de linealidad.

Conceptos clave

• Estimador: Una función de la muestra utilizada para aproximar un parámetro poblacional desconocido.
• Insesgado: Un estimador se dice insesgado cuando su valor esperado es igual al parámetro que estima.
• Valor esperado: El promedio ponderado de todos los posibles valores que puede tomar una variable aleatoria.
• Combinación lineal: Expresión formada por la suma de términos, cada uno con un coeficiente constante.
• Muestra aleatoria: Conjunto de observaciones independientes e idénticamente distribuidas de una población.

Aplicaciones prácticas

1. El concepto de insesgadez es fundamental en inferencia estadística para obtener estimaciones fiables de parámetros poblacionales.
2. Los estimadores insesgados son especialmente importantes en investigación científica donde se busca evitar errores sistemáticos.
3. En análisis de datos financieros, los estimadores insesgados se utilizan para evaluar riesgos y rentabilidades esperadas.
4. En control de calidad industrial, se emplean para estimar características de producción sin subestimar ni sobrestimar sistemáticamente.

Solución

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Paso 1: Definición de un estimador insesgado

Un estimador $\hat{\mu}$ se considera insesgado si su valor esperado es igual al parámetro que intenta estimar:

$$\mathbb{E}[\hat{\mu}] = \mu$$

Esta es la condición fundamental que debemos verificar.

Paso 2: Valor esperado del estimador propuesto

El estimador propuesto es una combinación lineal de variables aleatorias:

$$\hat{\mu} = a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + \cdots + a_{n}x_{n}$$

Aplicando la propiedad de linealidad del valor esperado, tenemos:

$$\mathbb{E}[\hat{\mu}] = \mathbb{E}[a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + \cdots + a_{n}x_{n}]$$ $$\mathbb{E}[\hat{\mu}] = a_{1}\mathbb{E}[x_{1}] + a_{2}\mathbb{E}[x_{2}] + \cdots + a_{n}\mathbb{E}[x_{n}]$$

Paso 3: Utilización de la información sobre la muestra aleatoria

Como $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ son muestras aleatorias de una población con media $\mu$, todas tienen el mismo valor esperado:

$$\mathbb{E}[x_{i}] = \mu \quad \text{para todo} \quad i = 1, 2, \ldots, n$$

Sustituyendo estos valores en la expresión anterior:

$$\mathbb{E}[\hat{\mu}] = a_{1}\mu + a_{2}\mu + \cdots + a_{n}\mu$$

Factorizando $\mu$:

$$\mathbb{E}[\hat{\mu}] = \mu(a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n})$$

Paso 4: Determinación de la condición para la insesgadez

Para que $\hat{\mu}$ sea insesgado, necesitamos que:

$$\mathbb{E}[\hat{\mu}] = \mu$$

Sustituyendo lo que obtuvimos en el paso 3:

$$\mu(a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}) = \mu$$

Dividiendo ambos lados entre $\mu$ (asumiendo que $\mu \neq 0$):

$$a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = 1$$

Paso 5: Verificación con la media muestral

La media muestral se define como:

$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i} = \frac{1}{n}x_{1} + \frac{1}{n}x_{2} + \cdots + \frac{1}{n}x_{n}$$

En este caso, cada coeficiente $a_i = \frac{1}{n}$. Verificando la condición:

$$\sum_{i=1}^{n}a_i = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n} = \frac{n}{n} = 1$$

Por lo tanto, la media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional.

Conclusión

La condición necesaria y suficiente para que el estimador $\hat{\mu}$ sea insesgado es:

$$\boxed{\sum_{i=1}^{n}a_i = 1}$$

Esta condición asegura que el estimador no subestime ni sobrestime sistemáticamente el parámetro poblacional $\mu$.