Problema

La distribución de probabilidad de $X$, el número de imperfecciones que se encuentran en cada 10 metros de una tela sintética, se define como:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline X & P(X) \\ \hline 0 & 0.41 \\ 1 & 0.37 \\ 2 & 0.16 \\ 3 & 0.05 \\ 4 & 0.01 \\ \hline \end{array}$$

Construya la función de distribución acumulativa de X y grafíquela.

Conceptos clave

• Variable aleatoria discreta: Una variable que puede tomar valores aislados y contables.
• Distribución de probabilidad: Asigna una probabilidad a cada valor posible de la variable.
• Función de distribución acumulativa (FDC): Determina la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual a un número dado.

Solución

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Paso 1: Verificar que la distribución de probabilidad es válida

Comprobamos que la suma de todas las probabilidades sea igual a 1:

$$\sum_{x=0}^{4} P(X=x) = 0.41 + 0.37 + 0.16 + 0.05 + 0.01 = 1$$

Paso 2: Calcular la función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa $F(x)$ se define como:

$$F(x) = P(X \leq x) = \sum_{t \leq x} P(X = t)$$

Calculamos $F(x)$ para cada valor de $x$:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline X & P(X) & F(X) \text{ Acumulada} \\ \hline 0 & 0.41 & 0.41 \\ 1 & 0.37 & 0.41 + 0.37 = 0.78 \\ 2 & 0.16 & 0.78 + 0.16 = 0.94 \\ 3 & 0.05 & 0.94 + 0.05 = 0.99 \\ 4 & 0.01 & 0.99 + 0.01 = 1.00 \\ \hline \end{array}$$

Paso 3: Expresar la función de distribución acumulativa por intervalos

La función de distribución acumulativa completa se expresa como:

$$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 0.41, & 0 \leq x < 1 \\ 0.78, & 1 \leq x < 2 \\ 0.94, & 2 \leq x < 3 \\ 0.99, & 3 \leq x < 4 \\ 1, & x \geq 4 \end{cases}$$

Paso 4: Representación gráfica de la FDC

La función de distribución acumulativa es una función escalonada que crece de forma discreta en los valores de la variable aleatoria:

Conclusión

La función de distribución acumulativa es una herramienta esencial en estadística para analizar el comportamiento de variables aleatorias discretas. En este caso particular, nos permite determinar la probabilidad acumulada de encontrar hasta un cierto número de imperfecciones en una muestra de tela, lo que resulta fundamental para procesos de control de calidad en la industria textil.