Problema

¿De cuántas formas diferentes se pueden seleccionar 2 personas de un grupo de 20 personas cuando el orden de selección es importante?

Conceptos clave

• Permutación: Un arreglo donde el orden importa.
• Fórmula de permutación: Al seleccionar $r$ objetos de $n$ objetos, el número de permutaciones es $P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$
• Notación factorial: $n!$ representa $n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1$

Solución

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Como el orden de selección es importante (por ejemplo, elegir a la persona A primero y a la persona B segundo es diferente de elegir a la persona B primero y a la persona A segundo), necesitamos usar la fórmula de permutación:

$P_n^r = \frac{n!}{(n-r)!}$

En este problema:

• n = 20 (número total de personas)
• r = 2 (número de personas a seleccionar)

Sustituyendo estos valores en la fórmula:

$P_{20}^2 = \frac{20!}{(20-2)!} = \frac{20!}{18!}$

Podemos simplificar esta expresión:

$\frac{20!}{18!} = \frac{20 \times 19 \times 18!}{18!} = 20 \times 19 = 380$

Por lo tanto, hay 380 formas diferentes de seleccionar 2 personas de un grupo de 20 personas cuando el orden importa.

Aplicaciones

Este tipo de problema aparece en varios escenarios:

• Selección de ganadores de primer y segundo lugar en una competencia
• Asignación de roles de presidente y vicepresidente de un comité
• Elección de representantes principales y suplentes de un grupo
• Planificación de entrevistas secuenciales de un grupo de candidatos

Fórmulas relacionadas

• Permutación con repetición permitida: $n^r$
• Permutación circular: $(n-1)!$
• Fórmula de combinación (cuando el orden no importa): $C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$